تعریف برد تابع

تدریس توسط علی هاشمی

ویدیوهای آنلاین دهم تجربی و ریاضی

در این ویدیو علی هاشمی درس مفهوم برد تابع از فصل تابع از بسته ویدیوهای آنلاین دهم تجربی و ریاضی مربوط به رشته تجربی و ریاضی دهم را تدریس می کند.

ویدیوهای آنلاین

تماشای ویدیوهای آنلاین کاملا رایگان می باشد.

دانلود آن از طریق دکمه خرید امکان پذیر است.

محتوای بسته

مجموعه، الگو و دنباله

بررسی مجموعه های اعداد

حل تست مجموعه های اعداد

مکان هندسی اعداد روی محور

بررسی بازه بسته و باز

حل مثال از مفهوم بازه

بررسی مفاهیم مجموعه

حل مثال جامع مجموعه

مفهوم متمم یک مجموعه

محاسبه تعداد عضو مجموعه

مجموعه متناهی و نامتناهی

حل تست متناهی و نامتناهی

بررسی مفهوم الگو خطی

الگو خطی و غیر خطی

حل تست الگو خطی و غیرخطی

بررسی مفهوم الگو غیر خطی

دنباله حسابی

حل مثال دنباله حسابی

حل مثال دنباله حسابی

حل مثال دنباله حسابی

دنباله تعریف برد تابع هندسی

حل مثال دنباله هندسی

حل مثال دنباله هندسی

حل مثال دنباله هندسی

حل مثال دنباله هندسی

تدریس توسط علی هاشمی

مثلثات

مفهوم مثلث های متشابه

حل مثال مثلث های متشابه

مفهوم نسبت های مثلثاتی

حل مثال نسبت های مثلثاتی

حل مثال نسبت های مثلثاتی

حل تست نسبت های مثلثاتی

اندازه زاویه های مهم مثلثاتی

روابط نسبت های مثلثاتی

حل مثال روابط مثلثاتی

حل مثال روابط مثلثاتی

حل مثال روابط مثلثاتی

حل تست روابط مثلثاتی

حل تست اتحادهای مثلثاتی

محاسبه مساحت مثلث

بررسی مفهوم دایره مثلثاتی

محاسبه زاویه های خاص مثلثاتی

محاسبه کمان در دایره مثلثاتی

حل مثال دایره مثلثاتی

حل تست دایره مثلثاتی

محاسبه شیب خط در مثلثات

حل مثال شیب خط در مثلثات

حل تست کاربرد مثلثات

تدریس توسط علی هاشمی

توان و ریشه

فیلم ۱ از ریشه و توان

فیلم ۲ از ریشه و توان

فیلم ۳ از ریشه و توان

فیلم ۴ از ریشه و توان

فیلم ۵ از ریشه و توان

فیلم ۶ از ریشه و توان

فیلم ۷ از ریشه و توان

فیلم ۱ از توان های گویا

فیلم ۲ از توان های گویا

فیلم ۳ از توان های گویا

فیلم ۱ از گویا کردن مخرج کسر

فیلم ۲ از گویا کردن مخرج کسر

فیلم کوتاه ۱ از ریشه nام

فیلم کوتاه ۲ از ریشه nام

فیلم کوتاه ۳ از ریشه nام

فیلم کوتاه ۴ از ریشه nام

فیلم کوتاه ۵ از ریشه nام

فیلم ۱ از عبارت های جبری

فیلم ۲ از عبارت های جبری

فیلم ۳ از عبارت های جبری

فیلم ۴ از عبارت های جبری

فیلم ۵ از عبارت های جبری

فیلم ۶ از عبارت های جبری

فیلم ۷ از عبارت های جبری

تدریس توسط علی هاشمی

معادله و نامعادله

حل معادله با دلتا

حل معادله با تجزیه

حل معادله در حالت خاص

حل معادله با ریشه گیری

بررسی مفهوم سهمی و نمودار

حل مثال سهمی

ساخت معادله درجه دو با نمودار

رسم تابع درجه دو با راس سهمی

تعیین علامت درجه اول

تعیین علامت درجه دوم

حالت خاص در تعیین علامت

حل مثال جامع تعیین علامت

تعیین علامت سریع

حالت خاص تعیین علامت سریع

نامعادله درجه اول

نامعادله درجه دوم

نامعادله قدرمطلقی

حل نامعادله با ویژگی قدرمطلق

حل مثال نامعادله قدرمطلقی

حل نامعادله گویا

حل تست نامعادله

مفهوم همواره مثبت و منفی

تدریس توسط علی هاشمی

مفهوم تابع در زوج مرتب

مفهوم تابع در نمودار

مفهوم برد تابع

مفهوم مقدار تابع

مفهوم تابع خطی

دامنه و برد در نمودار

دامنه تابع کسری

دامنه تابع رادیکالی

مفهوم تابع جزصحیح

رسم نمودار با انتقال

رسم نمودار با انتقال

مقدار تابع چند ضابطه ای

دامنه و برد در نمودار

تدریس توسط علی هاشمی

شمارش بدون شمردن

اصل ضرب و جمع

معرفی نماد فاکتوریل

بررسی مفهوم جایگشت

حل مثال جامع جایگشت

بررسی مفهوم ترکیب

حل مثال جامع ترکیب

حل مثال فاکتوریل

حل معادله فاکتوریلی

ساده سازی کسر فاکتوریل

حل مثال جایگشت

حل مثال جایگشت

حل مثال جایگشت

حل مثال جایگشت

حل مثال ترکیب

حل مثال ترکیب

تعیین تعداد زیر مجموعه

تدریس توسط علی هاشمی

احتمال و آمار

بررسی مفهوم احتمال

احتمال با جایگشت با تکرار

بررسی احتمال مهره ها

بررسی احتمال تاس

بررسی قوانین احتمال

حل تست احتمال مهره ها

حل تست احتمال مهره و تاس

حل تست احتمال تاس

بررسی مفهوم احتمال متمم

حل تست احتمال

بررسی مراحل علم آمار

حل تست مراحل علم آمار

بررسی مفهوم جامعه و نمونه

بررسی متغییرهای آماری

حل تست متغییرهای آماری

تدریس توسط علی هاشمی

شماره های تماس

برای طرح سوالات در مورد بسته ها و ویدیوهای آموزشی با شماره 09127744281 تماس گرفته و یا به یکی از آیدی های زیر پیام دهید.

لینک های ارتباطی

کلیه حقوق مادی و معنوی این وب‌ سایت متعلق به علی هاشمی است. ضوابط حاکم بر خانه ریاضی علی هاشمی، مبتنی بر قوانین جاری جمهوری اسلامی ایران است. © ۱۳۹۷

Copyright © All rights reserved | This template is made with by Colorlib

دامنه تابع (Domain) و بُرد تابع (Range)

مقادیر ورودی و خروجی یک تابع از علاقه مندیهای عمدۀ افرادی که با جبر سر و کار دارند، می باشد. البته اگر شما به تماشای فوتبال بیشتر از جبر علاقه دارید اجازه می خواهم تا علاقه مندیهایتان را زیر سوال برده و به شما زخم زبان بزنم! کلمات ورودی (input) و خروجی (output) آنچیزی را که در تابع اتفاق می افتد توضیح می دهند، به عبارت دیگر، اعدادی که در تابع قرار می دهید و نتیجه ای که از تابع بیرون می آید، اما نامگذاری رسمی این مجموعه مقادیر عبارت از دامنه (domain) و برد (range) می باشند.

تعیین دامنه یک تابع

دامنۀ یک تابع عبارت از تمامی مقادیر ورودی آن تابع می باشد. بعبارت دیگر، دامنه مجموعه تمام اعدادی می باشد که شما می توانید بدون اینکه یک وضعیت ناخواسته یا غیرممکن پیش آید، وارد تابع کنید. اینگونه وضعیتها می توانند وقتیکه عملیاتی مانند کسرها، رادیکال ها، لگاریتم ها و به همین ترتیب، در تعریف تابع نمایان می شوند، رُخ دهند.

یادتان باشد: بسیاری از توابع محدودیتی در مقادیر ندارند، اما کسرها معروف به این هستند که اگر صفر در مخرجشان ظاهر شود، مشکل ساز می شوند. رادیکال ها در مقادیری که می توانید ریشۀ آنها را بیابید دارای محدودیتهایی هستند، و لگاریتم ها فقط می توانند با اعداد مثبت سر و کار داشته باشند.

شما نیاز دارید که برای تعیین دامنۀ یک تابع آماده شوید، به نحویکه بتوانید بگویید کجا می توانید این تابع را استفاده نمایید ـــ به عبارت دیگر، برای کدام مقادیر وروردی تاثیر مفیدی دارد. شما می توانید دامنۀ یک تابع را از روی معادلۀ آن یا تعریف تابع تعیین کنید. شما به دامنه به لحاظ اینکه کدام اعداد حقیقی را می توانید به عنوان مقادیر ورودی استفاده کنید و کدام مقادیر را باید حذف کنید، بنگرید. شما می توانید دامنه را با موارد زیر بیان کنید:

• کلمات: دامنۀ \(f(x) = x^2+2 \) تمامی اعداد حقیقی می باشد (هر چیزی با این تابع کار می کند).
  
• نامساویها: دامنۀ \(g(x)= \sqrt\) برابر است با \(x \ge 0\) .
  
• نمادهای بازه: دامنۀ \(h(x) = In(x-1)\) برابر با \( (1,\infty) \) می باشد. (برای اطلاعات بیشتر در مورد بازه ها فصل 2 را مرور کنید.)
  

• \( f(x)=\sqrt \) . دامنه این تابع عبارت از عدد \(11\) و هر عدد بزرگتر بعد از آن می باشد. این دامنه را به شکل \( x \ge 11 \) یا در نماد بازه به شکل \( [11, \infty) \) می نویسید. شما نمی توانید از اعداد کوچکتر از \(11\) استفاده کنید زیرا در آنصورت عددی که جذر آن گرفته می شود عددی منفی خواهد بود که نتیجه اش عددی حقیقی نمی شود.
  
• \( g(x)== \) . دامنۀ این تابع عبارت از تمامی اعداد حقیقی به جز \(6\) و \(-2\) می باشد. شما این دامنه را به شکل \(x \lt -2\) یا \(-2 \lt x \lt 6\) یا \(x \gt 6\) می نویسید و یا در نماد بازه به شکل \( (-\infty,-2) \cup (-2,6) \cup (6,\infty) \) می نویسید. ساده تر اینست که به سادگی بنویسید "تمامی اعداد حقیقی به استثنای \(x=-2\) و \(x=6\) ." دلیل اینکه نمی توانید از \(-2\) یا \(6\) استفاده کنید اینست که منجر به ایجاد \(0\) در مخرج کسر می شوند، و کسری که مخرجش صفر باشد عددی را تولید می کند که در ریاضی وجود ندارد.
  
• \( h(x) = x^3-3x^2+2x-1 \) . دامنۀ این تابع شامل تمامی اعداد حقیقی می باشد. شما نیازی ندارید تا چیزی را حذف کنید، زیرا شما کسری را نمی یابید که پتانسیل قرار گرفتن صفر در مخرج آن وجود داشته باشد، و هیچ رادیکالی هم ندارید که احیاناً عددی منفی در زیر آن قرار بگیرد. می توانید این دامنه را به شکل \(\mathbb\) یا در نماد بازه به شکل \( (-\infty,\infty) \) بنویسید.
  

برد تابع

برد (range) یک تابع تمامی مقادیر خروجی آن می باشد ـــ هر مقداری که با وارد کردن مقادیر دامنه در قانون (rule) یا همان معادله تابع، بدست می آورید. شما ممکن است قادر باشید تا دامنه یک تابع را از روی معادلۀ آن تعیین کنید، اما گاهی اوقات شما باید نمودار آن را ترسیم کنید تا ایده خوبی از چیزی که در حال اتفاق افتادن می باشد، بدست آورید.

برد می تواند عبارت از تمامی اعداد حقیقی باشد، یا می تواند به دلیل ساختاربندی خاص معادله یک تابع، محدود گردد. برای توصیف بردها هیچ روش آسانی ندارید ـــ دست کم، نه به سادگی توصیف دامنه ها ـــ اما می توانید در مورد برخی از توابع، سرنخ هایی را با نگاه کردن به نمودار آنها بدست آورید، و در مورد سایر توابع با دانستن ویژگی های انواع منحنی هایشان می توانید این سرنخ ها را بدست آورید.

در ادامه مثالهایی را از توابع و بردهای آنها می بینید. مشابه دامنه ها، می توانید بردها را با کلمات، نامساوی ها، یا نمادهای بازه بیان کنید:

• \(k(x)=x^2+3\) . برد این تابع عبارتست از عدد \(3\) و هر عدد دیگری بزرگتر از \(3\) . این برد را به شکل \(k \ge 3\) یا در نماد بازه به شکل \( [3,\infty) \) می نویسید. خروجی ها هرگز نمی توانند از \(3\) کوچکتر باشند، زیرا اعدادی که شما وارد تابع می کنید مربع می شوند. نتیجه مربع شدن یک عدد حقیقی همواره عددی مثبت می باشد (یا اگر صفر را وارد تابع کنید، صفر را مربع می کنید). اگر یک عدد مثبت یا \(0\) را با \(3\) جمع بزنید، هرگز عددی کوچکتر از \(3\) را بدست نخواهید آورید.
  
• \( m(x)=\sqrt \) . برد این تابع عبارت از تمامی اعداد مثبت و صفر می باشد. این برد را به شکل \(m \ge 0\) یا در نماد بازه به شکل \( [0,\infty) \) می نویسید. عدد زیر رادیکال هرگز نمی تواند عددی منفی باشد، و تمامی ریشه های مربع برابر با عددی مثبت یا صفر می باشند.
  
• \( p(x)=> \) . برخی از معادلات توابع، مانند این مورد، سرنخی فوری در مورد مقادیر برد به شما نمی دهند. معمولاً ترسیم نمودار این توابع به شما کمک خواهد کرد. شکل 1-6 نمودار تابع \(p\) را به شما نشان می دهد. ببینید آیا می توانید بدون اینکه دزدکی نگاهی به توضیحات زیر بیندازید، مقادیر برد را کشف کنید.

نکات فنی: هنگامی که برد یک تابع دارای یک مقدار کمینه یا بیشینه باشد، موردی از ماکزیمم مطلق (absolute maximum) یا مینیمم مطلق (absolute minimum) را ارائه می کند. برای مثال، اگر برد \( [2,\infty) \) باشد، برد شامل عدد \(2\) و هر مقدار دیگری بزرگتر از \(2\) می باشد. مینیمم مطلق که این تابع می تواند در خروجی اش داشته باشد برابر با \(2\) می باشد. تمامی توابع این ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق را دارا نیستند، اما توانایی شناسایی این مقادیر مهم می باشد ـــ مخصوصاً اگر از آن توابع برای تعیین دستمزد هفتگی تان استفاده می کنید. آیا می خواهید ماکزیمم مطلق دستمزد هفتگی شما دارای ظرفیت \($500\) باشد؟

نکته: برای اطلاع از برخی از نکات در هنگام ترسیم نمودار توابع فصلهای 7 تا 10 را ببینید، در این فصلها در مورد نمودار توابع مختلف صحبت کرده ام.

دامنه و برد توابع جبری و گویا — به زبان ساده

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با تعریف دامنه و برد تابع آشنا شدیم. در این آموزش، روش محاسبه دامنه و برد توابع جبری و گویا را بیان می‌کنیم.

تعریف دامنه تابع

دامنه تابعی مانند $$f$$ که به صورت عبارتی برحسب متغیر $$x$$ تعریف شده است، برابر است با مجموعه اعداد حقیقی متغیر $$x$$ که به ازای آن‌ها مقدار تابع حقیقی است.

تعریف برد تابع

برد تابع $$f$$ برابر است با مجموعه مقادیری که به ازای قرار دادن مقادیر دامنه در متغیر $$x$$ برای تابع حاصل می‌شود.

تعیین دامنه و برد توابع جبری و گویا

برای به دست آوردن دامنه و برد یک تابع ابتدا باید نوع تعریف برد تابع آن تابع را تشخیص دهیم، زیرا توابع گوناگون از جمله توابع جبری، لگاریتمی، گویا، مثلثاتی و… دامنه و برد متفاوتی دارند. در ادامه این مطلب، به منظور آشنایی با نحوه تعیین دامنه و برد توابع جبری و گویا مثال‌هایی را ارائه خواهیم کرد.

دامنه و برد تعدادی از توابع جبری و گویا به شرح زیر است:

برد	دامنه	تابع
$$[0, +∞)$$	$$(-∞,+∞)$$	($$n$$ زوج و $$a\neq0$$) $$ f ( x ) = ( a x \pm b ) ^n $$
$$(-∞,+∞)$$	$$(-∞,+∞)$$	($$n$$ فرد و $$a\neq0$$) $$ f ( x ) = ( a x \pm b ) ^n $$
$$[0, +∞)$$	$$(-∞,+∞)$$	$$ f ( x ) = | a x \pm b | , \; a \neq 0 $$
$$[0, +∞)$$	$$[ \mp \frac b a , +∞) $$	($$n$$ زوج و $$a\neq0$$) $$ f ( x ) = < ( a x \pm b ) >^ $$
$$(-∞,+∞)$$	$$(-∞,+∞)$$	($$n$$ فرد و $$a\neq0$$) $$ f ( x ) = < ( a x \pm b ) >^ $$
$$ ( – \infty , 0 ) \cup ( 0 , + \infty ) $$	$$ ( -\infty ,\mp \frac b a ) \cup (\mp \frac b a , + \infty ) $$	$$ f ( x ) = \frac ,\; a \neq 0 $$

برای آشنایی بیشتر با مفاهیم توابع، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی مراجعه کنید که توسط فرادرس تهیه شده و لینک آن در ادامه آورده شده است:

• برای مشاهده فیلم آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی+ اینجا کلیک کنید.

مثال های تعیین دامنه و برد توابع جبری و گویا

در این بخش، چند مثال را از تعیین دامنه و برد توابع جبری و گویا بیان می‌کنیم.

مثال اول دامنه و برد توابع جبری و گویا

دامنه تابع $$ f ( x ) = \sqrt < ( 1 – x ) / ( x + 3 ) >$$ را بدست آورید.

حل: برای تعیین دامنه این تابع، باید بازه‌ای را پیدا کنیم که در آن، عبارت زیر رادیکال مثبت باشد. بنابراین، صورت و مخرج هردو باید یا مثبت یا منفی باشند. در این صورت، دو شرط خواهیم داشت (در هر دو مورد $$x+3$$ در مخرج باید مخالف صفر باشد، یعنی $$x≠-3$$):

• $$1-x\ge0 $$ و $$ x+3>0$$. یعنی:

$$x\le 1 , x>-3\Rightarrow x\in ( – 3, 1]$$

که در مورد دوم اشتراکی وجود ندارد.

از این رو، دامنه تابع $$( – 3, 1]$$ خواهد بود.

مثال دوم دامنه و برد توابع جبری و گویا

دامنه تابع $$ f ( x ) = \frac < ( x ^ 3 + x ^ 2 – 2 x ) >$$ را تعیین کنید.
حل: همانطور که می دانید، اگر مخرج یک تابع کسری صفر شود، مقدار تابع بینهایت (تعریف نشده) خواهد بود. بنابراین، باید $$ x ^ 3 + x ^ 2 – 2 x \neq 0 $$ باشد. برای تعیین دامنه، ابتدا باید $$x$$هایی که مخرج را صفر می‌کنند، به دست آوریم:

$$ \large x ^ 3 + x ^ 2 – 2 x = 0 , \\
\large x ( x ^ 2 + x – 2 ) = 0 , \\
\large x ( x – 1 ) ( x + 2 ) = 0 . $$

$$ \large x=0, \; x=1,\; x = – 2 $$

بنابراین، دامنه تابع برابر است با

$$ \large ( – ∞ , – 2 ) \cup ( – 2 , 0 ) \cup ( 0 , 1 ) \cup ( 1 , + ∞ ) $$

مثال سوم دامنه و برد توابع جبری و گویا

برد تابع $$ f ( x ) = \sqrt < x ^ 2 + 4 x + 4 >– 6 $$ را بیابید.

حل: عبارت زیر رادیکال، یک اتحاد مربع به صورت $$ x ^ 2 + 4 x + 4 = ( x + 2 ) ^ تعریف برد تابع 2 $$ است. بنابراین، داریم:

$$ \large \sqrt – 6 = \sqrt < ( x + 2 ) ^ 2 >– 6 = | x + 2 | – 6 $$

از آنجا که برد تابع $$|x+2$$، بازه $$[0,+\infty$$ است، با جابه‌جایی نمودار این تابع به اندازه شش واحد به سمت پایین، می‌توانیم برد تابع $$ | x + 2 | – 6 $$ را به دست آوریم. بنابراین، برد تابع $$f(x)$$ برابر است با $$[-6, +∞) $$.

مثال چهارم دامنه و برد توابع جبری و گویا

برد تابع $$ f ( x ) = \frac < x ^ 2 + 4 >$$ را به دست آورید.

حل: همان‌طور که می‌دانید $$ x ^ 2 \ge 0 $$ است. اگر عدد $$4$$ را به طرفین نامعادله اضافه کنیم، داریم:

$$ \large x ^ 2 + 4 \ge 4 $$

در نتیجه، خواهیم داشت:

$$ \large \frac < 1 > < x ^ 2 + 4 >\le \frac 1 4 \\
\large f ( x ) \le \frac 1 4 $$

توجه داشته باشید که $$ \frac < x ^ 2 + 4 >$$ همواره یک عبارت مثبت است و هیچ‌گاه صفر نمی‌شود، اما هنگامی که $$x$$ افزایش می‌یابد، ممکن است خیلی به صفر نزدیک باشد. بنابراین، برد این تابع برابر با $$ (0, \frac 14 ] $$ خواهد بود.

مثال پنجم دامنه و برد توابع جبری و گویا

برد تابع $$ f ( x ) = \frac $$ را تعیین کنید.

حل: روش جبری به دست آوردن برد این تابع گویا با مثال‌های قبلی متفاوت است. برای یافتن برد این تابع ابتدا باید معکوس آن را به دست آوریم و سپس، دامنه تابع معکوس را تعیین کنیم. زیرا همان‌طور که در مبحث تابع معکوس بیان شد، دامنه تابع معکوس برابر با برد تابع اصلی است.

از آنجا که $$f(x)$$ تابعی یک به یک است، معکوس‌پذیر نیز هست.

تساوی بالا را برحسب $$y$$ به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

با توجه به رابطه فوق، تابع معکوس را می‌توان به شکل زیر نوشت:

بنابراین، دامنه $$f^$$ و در نتیجه برد تابع $$f$$ برابر با $$ ( – ∞ , 1 ) \cup ( 1 , + ∞ ) $$ است.

مثال ششم دامنه و برد توابع جبری و گویا

برد تابع $$ f ( x ) = \frac < 2 x ^ 2 – 1 > < x + 1 >$$ را به دست آورید.

حل: مانند مثال قبل، ابتدا تابع را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$ \large y = \frac < 2 x ^ 2 – 1 > < x + 1 >\Rightarrow 2 x ^ 2 – y x – y – 1 = 0 $$

جواب این معادله به صورت زیر است:

جواب‌های فوق در صورتی حقیقی هستند که عبارت زیر رادیکال منفی نباشد. بنابراین، باید نامعادله زیر را حل کنیم:

$$ \large y ^ 2 + 8 y + 8≥ 0 , \\
\large ( y + 4 ) ^ 2 ≥ 8 \\
\large y ≥ 2 \sqrt 2-4, \; y≤-4-2\sqrt 2 $$

در نتیجه، برد تابع برابر است با $$ (-∞, -4-2\sqrt 2] \cup [2\sqrt2-4, +∞) $$.

مثال هفتم دامنه و برد توابع جبری و گویا

برد تابع $$ f ( x ) = – \frac 14 | – 4x + 5 | + \frac 1 2 $$ را بیابید.

حل: همان‌طور که می‌دانید، خروجی تابع قدر مطلق همواره مقداری مثبت است. بنابراین، واضح است که $$ | – 4 x + 5 | \ge 0 $$. با ضرب $$-\frac 14$$ در طرفین نامعادله داریم:

$$ \large -\frac 14 |-4x+5|≤0 $$

حال $$\frac 12$$ را به طرفین این نامعادله اضافه می‌کنیم:

$$ \large -\frac 14 | – 4 x + 5 | + \frac 1 2 ≤ \frac 1 2 $$

واضح است که برد تابع در محدوده $$ ( – ∞ ,\frac 12 ] $$ قرار می‌گیرد.

مثال هشتم دامنه و برد توابع جبری و گویا

دامنه و برد تابع $$ f ( x ) = \sqrt $$ را به دست آورید.

حل: دامنه این تابع، برابر با مجموعه‌ای از مقادیر $$x$$ است که در رابطه زیر صدق کنند:

$$ \large x ^ 2 – 4 x + 8 ≥ 0 $$

مقدار دلتای این عبارت برابر با $$ ( – 4) ^ 2 + 4 ( 1 ) ( 8 ) = – 16 $$ است. از آنجا که مقدار دلتا منفی است، عبارت زیر رادیکال به ازای تمام مقادیر $$x$$ یا مثبت است یا منفی. در اینجا عبارت زیر رادیکال همواره مثبت است، زیرا اگر به عنوان مثال $$x=0$$ را در $$ x ^ 2 – 4 x + 8 $$ جایگذاری کنیم، حاصل آن مقداری مثبت خواهد بود. بنابراین، دامنه این تابع، مجموعه‌ای از تمام اعداد حقیقی است.

برای تعیین برد تابع، می‌توانیم $$ x ^ 2 – 4 x + 8 $$ را به صورت $$ ( x – 2 ) ^ 2 + 4 $$ بازنویسی کنیم. نمودار $$ ( x – 2 ) ^ 2 + 4 $$ یک سهمی با یک مینیمم در نقطه $$ ( 2 , 4 ) $$ است. از این رو، برد $$ x ^ 2 – 4 x + 8 $$ برابر با $$ [ 4, + ∞ ) $$ و برد تابع $$f(x)$$ برابر با $$[\sqrt 4,\sqrt )=[2,+∞) $$ خواهد بود.

مثال نهم دامنه و برد توابع جبری و گویا

دامنه و برد تابع $$ f ( x ) = \sqrt < 1 6 – x ^ 2 >$$ را تعیین کنید.

حل: عبارت زیر یک رادیکال با فرجه زوج باید صفر یا مثبت باشد:

$$ \large x ^ 2 ≤ 1 6 , \\
\large x ≥ – 4, \; x ≤ 4 $$

بنابراین، دامنه تابع بازه بسته $$ [-4,4] $$ است. همان‌طور که در نمودار زیر مشاهده می‌کنید، تابع $$ 1 6 – x ^ 2 $$ یک سهمی با یک ماکزیمم در نقطه $$ (0,16) $$ است. بنابراین، برد آن $$ [0,16] $$ و در نتیجه برد تابع $$f(x)$$ بازه $$ [ \sqrt 0 , \sqrt < 1 6 >] = [ 0 , 4 ] $$ خواهد بود.

مثال دهم دامنه و برد توابع جبری و گویا

دامنه و برد تابع $$ f ( x ) = \sqrt < x ^ 2 – 2 5 >$$ را محاسبه کنید.

حل: از آنجا که تابع یک تابع رادیکالی با فرجه زوج است، داریم:

$$ \large x ^ 2- 2 5 ≥ 0 , \\
\large x ^ 2 ≥ 2 5 \\
\large x ≥ 5, \; x ≤ – 5 $$

به ازای مجموعه مقادیر $$x$$ در بازه $$ (-∞ , -5] \cup [5, +∞) $$، برد تابع $$ x^2-25 $$ و $$f(x)$$، بازه $$[0, +∞) $$ است.

معرفی فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس

برای آشنایی بیشتر با مباحث ریاضی دبیرستان، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه آموزش دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی مراجعه کنید که توسط فرادرس تهیه شده است. این مجموعه،‌ شامل دروس مقاطع مختلف تحصیلی متوسطه اول و دوم است که مطابق سرفصل‌های کتاب‌های درسی و با کیفیتی بالا توسط معلمان و دبیران کارآزموده تدوین شده‌اند.

• برای مشاهده فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی+ اینجا کلیک کنید.

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی

برای آشنایی بیشتر با مبحث دامنه و برد توابع، پیشنهاد می‌کنیم به فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی مراجعه کنید که توسط فرادرس و در ۱۲ ساعت و ۴۶ دقیقه تدوین شده است. در درس یکم این فیلم آموزشی که از ۱۰ درس تشکیل شده، مبحث مجموعه‌ها، مجموعه اعداد، توان، ب.م.م و ک.م.م بیان شده است. موضوع درس دوم چندجمله‌ای‌ها و اتحاد و تجزیه است. در درس سوم به موضوع نامساوی‌ها، نامعادلات، طول پاره‌خط، ضریب زاویه و معادله خط پرداخته شده است. درس چهارم درباره مثلثات است و در درس پنجم تصاعد حسابی و هندسی معرفی شده‌اند. موضوع مهم درس ششم تابع، دامنه و برد است. در ادامه، در درس هفتم، تساوی دو تابع، اعمال جبری روی تابع و ترکیب توابع بیان شده‌اند. توابع زوج و فرد، تابع یک به یک و تابع وارون موضوعات درس هشتم هستند. انواع تابع، شامل تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، تابع قدر مطلق و تابع جزء صحیح در درس نهم معرفی شده‌اند و در نهایت، در درس دهم به توابع نمایی و لگاریتمی پرداخته شده است.

• برای مشاهده فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی+ اینجا کلیک کنید.

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه (مرور و حل تست کنکور ارشد)

فیلم آموزش ریاضی پایه (مرور و حل تست کنکور ارشد) در ۵ ساعت و ۱۶ دقیقه و در قالب ۴ درس تهیه شده است. درس یکم این آموزش درباره مجموعه‌ها، چندجمله‌ای‌ها، اتحاد و تجزیه، نامساوی و نامعادلات است. در درس دوم، معادله درجه 2 مورد بررسی قرار گرفته است. موضوع درس سوم مثلثات است. در نهایت، در درس چهارم به تابع، دامنه و برد آن، تساوی دو تابع، اعمال جبری روی تابع، ترکیب توابع، توابع زوج و فرد، توابع یک به یک، وارون تابع، تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، تابع قدر مطلق، تابع جزء صحیح، تابع نمایی و تابع لگاریتمی پرداخته شده است.

• برای مشاهده فیلم آموزش ریاضی پایه (مرور و حل تست کنکور ارشد)+ اینجا کلیک کنید.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

دامنه و برد تابع — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

به صورت ساده می‌توان بیان کرد که دامنه یک تابع، شامل تمام مقادیری است که به عنوان ورودی به تابع داده می‌شوند و برد تابع نیز مجموعه مقادیر خروجی از تابع را در بر می‌گیرد. این موضوع، یعنی مفهوم دامنه و برد تابع به سادگی در شکل زیر نشان داده شده است.

فیلم آموزشی دامنه و برد تابع

شکل ۱: دامنه و برد یک تابع

اما مهم‌ترین نکته‌ای که باید به آن توجه کنید این است که دامنه و برد، دو مفهوم اساسی در تعریف توابع هستند و با تغییر آن‌ها تعریف تابع نیز تغییر می‌کند. در ادامه مطلب، این موضوع به صورت دقیق مورد بررسی قرار می‌گیرد و تعریف جامعی از دامنه، برد و هم‌دامنه ارائه می‌شود.

توابع

همانطور که می‌دانید، یک تابع روی مجموعه‌ای از ورودی‌ها عمل می‌کند و مجموعه‌ای از خروجی‌ها را تولید می‌کند. بنابراین می‌توان بیان کرد که هر تابع از یک سری ورودی و خروجی تشکیل شده است. برای آنکه مفهوم این موضوع را به صورت دقیق متوجه شوید، به مثال زیر توجه کنید.

درختی که در شکل زیر نشان داده شده است هر سال به اندازه ۲۰ سانتی متر رشد می‌کند.

شکل ۲: ارتفاع درخت تابعی از طول عمر آن است

بنابراین می‌توان بیان کرد که ارتفاع درخت به میزان سن آن با استفاده از تابع h مرتبط است. این تابع را می‌توان به شکل زیر نمایش داد.

بنابراین در صورتی که سن درخت برابر با 10 سال باشد، ارتفاع آن مطابق با رابطه زیر، برابر با 200 سانتی متر خواهد بود.

رابطه فوق را می‌توان اینگونه بیان کرد که تابع h، عدد 10 را به 200 تبدیل کرده است. بنابراین عدد 10 ورودی این تابع و 200 خروجی آن را نشان می‌دهد. این موضوع با استفاده از رابطه زیر نیز به خوبی نشان داده شده است.

ورودی و خروجی یک تابع

نکته بسیار مهمی که باید به آن توجه کنید این است که، تمامی مقادیر و اعداد را نمی‌توان به عنوان ورودی به تابع معرفی کرد و اگر به تابع ورودی اشتباه بدهیم، ممکن است که تابع عمل نکند و هیچ خروجی را به ما تحویل ندهد.

دانستن اطلاعات کلی درمورد خروجی‌های تابع نیز امر بسیار مهمی است. برای مثال اگر بدانیم که این تابع تنها مقادیر مثبت را به عنوان خروجی به ما تحویل می‌دهد، درک مسئله برای ما بسیار ساده‌تر خواهد بود.

علاوه بر موارد ذکر شده، می‌توان بیان کرد که یک تابع، روی مجموعه‌های مشخصی عمل می‌کند. در ادامه برخی از این مجموعه‌ها را مورد مطالعه قرار می‌دهیم.

به عنوان مثال اول، مجموعه تمام اعداد زوج (مثبت و منفی) را می‌توان با استفاده از مجموعه اعداد زیر نمایش داد.

مشابه مثال بالا می‌توان مجموعه اعداد صحیح فرد را نیز به شکل زیر نمایش داد.

در ادامه مجموعه‌ای شامل تمام اعداد اول را مورد بررسی قرار می‌دهیم. توجه کنید که عدد اول، یک عدد طبیعی بزرگتر از یک است که به هیچ عددی به غیر از یک و خود آن عدد، بخش پذیر نیست. مجموعه این اعداد در رابطه زیر نشان داده شده است.

علاوه بر موارد ذکر شده، مجموعه‌ها را می‌توان به اعداد طبیعی، صحیح و گویا نیز محدود کرد. به غیر از مجموعه‌های کلی که در بالا اشاره شد، امکان دارد مجموعه‌های دلخواهی نیز در توابع به عنوان ورودی یا خروجی تعریف شوند. برای مثال ممکن است ورودی یک تابع تنها شامل اعداد مثبت کوچکتر از ۱۰ و مضرب ۳ باشد. این مجموعه دلخواه را به شکل زیر نمایش می‌دهند.

به صورت کلی می‌توان بیان کرد که یک تابع، هرکدام از اعضای یک مجموعه را دقیقا به یکی از اعضای مجموعه دیگر مرتبط می‌کند. توجه کنید که ممکن است دو مقدار از مجموعه اول (دامنه) به یک مقدار از مجموعه دوم (برد) منتقل شوند.

نکته مهم دیگر این است که اگر یک مقدار از مجموعه اول (دامنه) به دو مقدار از مجموعه دوم (برد)، مرتبط شود، با تعرف تابع در تضاد است و این عملگر را نمی‌توان تابع نامید. تعریف تابع و مجموعه دامنه و برد در شکل زیر به خوبی نشان داده شده است.

شکل ۳: مفهوم دامنه و برد

دامنه و برد چیست

دامنه یک تابع، مجموعه‌ای است که به عنوان ورودی تابع در نظر گرفته می‌شود و برد تابع، مجموعه‌ای است که تمامی خروجی‌های تابع را در بر می‌گیرد.

مجموعه دیگری نیز تحت عنوان هم‌دامنه در تعریف تابع حضور دارد. هم‌دامنه شامل مجموعه‌ای از اعداد است که خروجی تابع می‌تواند جزئی از آن‌ها باشد. هم‌دامنه را دامنه مشترک نیز می‌نامند. برای مشخص شدن مفهوم این تعاریف به مثال زیر توجه کنید.

تابعی با رابطه زیر را در نظر بگیرید.

این تابع مانند شکل زیر بین مجموعه‌های A و B عمل می‌کند و هر عضو مجموعه A را به یک عضو مجموعه B مرتبط می‌سازد.

شکل ۴: مفهوم دامنه، برد و هم‌دامنه

بنابراین مجموعه A، دامنه تابع را نمایش می‌دهد و مجموعه B، هم‌دامنه را مشخص می‌کند. توجه کنید که هم‌دامنه را معمولا صورت مسئله تعیین می‌کند و برد، زیر مجموعه‌ای از این هم‌دامنه است.

در این مثال، برد تابع، مجموعه‌ای است که اعداد 3، 5، 7 و 9 را شامل می‌شود. برد این تابع زیر مجموعه‌ای از هم‌دامنه (مجموعه B) است. این سه مجموعه یعنی دامنه، هم‌دامنه و برد را می‌توان به کمک مجموعه‌های زیر هم نمایش داد.

اجزای مختلف یک تابع

در تعریف تابع، دامنه و برد نشان دادیم که آنچه که از تابع بیرون می‌آید (برد تابع) وابستگی مستقیم به ورودی تابع (دامنه تابع) دارد. بنابراین می‌توان بیان کرد که یکی از مهم‌ترین بخش‌های تابع، دامنه آن است و تغییر دامنه باعث تغییر خروجی تابع و ویژگی‌های مختلف آن تابع می‌شود. برای مشخص شدن مفهوم این قضیه به مثال زیر توجه کنید.

تابع ساده‌ای را که رابطه آن به فرم $$f(x) = x^2$$ است را در نظر بگیرید. دامنه این تابع یعنی آنچه به عنوان ورودی به تابع داده می‌شود را می‌توانیم مجموعه‌ای شامل اعداد طبیعی به فرم $$\< 1 , 2, 3 , … \>$$ تعریف کنیم. با استفاده از این دامنه و رابطه تابع، برد تابع به فرم مجموعه زیر در می‌آید.

این تابع با استفاده از دامنه و بردی که در بالا تعریف شد، به صورت زیر مشخص می‌شود.

شکل 5: مفهوم دامنه و برد تابع

حال تابع دیگری که رابطه مشابهی با تابع قبلی دارد را در نظر بگیرید. ابن تابع را با حرف g و با استفاده از رابطه $$g(x) = x^2$$ می‌توان مشخص کرد. دامنه این تابع را به صورت مجموعه تمام اعداد صحیح به فرم زیر در نظر بگیرید.

در این شرایط، برد تابع به شکل زیر در می‌آید.

توجه کنید که برد تابع جدید نسبت به حالت قبل یک عدد صفر (0) بیشتر دارد. این تابع، دامنه و برد آن را می‌توان به شکل زیر نمایش داد.

شکل 6: مفهوم دامنه و برد تابع

همانطور که مشاهده می‌شود، هر دو تابع مجذور ورودی را به عنوان خروجی تحویل می‌دهند ولی از آنجایی که این دو تابع ورودی و دامنه متفاوتی دارند، خروجی و برد آن‌ها نیز متفاوت خواهد بود.

توجه کنید که خواص این دو تابع نیز متفاوت است. در حالت اول، تابع f، به صورت یک به یک است و به ازای هر ورودی یک خروجی را تولید می‌کند. این در حالی است که تابع g یک به یک نیست و به ازای دو ورودی مختلف، یک جواب یکسان را تولید می‌کند. این موضوع در دو رابطه زیر نشان داده شده است.

بنابراین با توجه به مثال و توضیحات بالا، می‌توان نتیجه گرفت که یکی از بخش‌های اساسی تابع، دامنه آن است. انواع مختلف دامنه می‌تواند ویژگی‌های گوناگون تابع را تحت تاثیر خود قرار دهد.

محدودیت‌های تعریف دامنه یک تابع

در قسمت‌های قبل نشان داده شد که دامنه یک تابع و شیوه تعریف آن تاثیر مستقیمی روی ویژگی‌های مختلف تابع دارد.

توجه کنید که تمامی مقادیر را نمی‌توان به عنوان ورودی یک تابع در نظر گرفت. برای مثال در صورتی که تابعی به فرم $$f(x) = \sqrt $$ داشته باشیم، دامنه تابع را باید از میان اعداد مثبت انتخاب کنیم تا عبارت زیر رادیکال مقداری مثبت داشته باشد. در این صورت برد این تابع در مجموعه اعداد حقیقی قرار می‌گیرد و در غیر این صورت، برد تابع مجموعه اعداد مختلط را نیز در بر خواهد گرفت.

بنابراین در تعریف دامنه توابع باید به صورت دقیق عمل کنیم. برای این منظور آشنایی با انواع اعداد و زیر مجموعه‌های مختلف اعداد حقیقی مانند اعداد گویا، امری ضروری است.

تفاوت برد و هم‌دامنه

برد و هم‌دامنه، دو تعریف بسیار مهم در توابع هستند و هر دو در قسمت خروجی تابع قرار می‌گیرند ولی دو تعریف مجزا و متفاوت دارند. در قسمت قبل نیز اشاره شد که هم‌دامنه، مجموعه‌ای است که خروجی و برد تابع را در بر می‌گیرد و در واقع برد یک تابع زیر مجموعه‌ای از هم‌دامنه آن تابع در نظر گرفته می‌شود.

نکته مهمی که باید به آن اشاره کرد این است که هم‌دامنه بخشی از تعریف تابع است و در تعریف تابع، هنگام بیان رابطه و دامنه آن، هم‌دامنه نیز معرفی می‌شود. این در حالی است که برد تابع، مقادیری را نشان می‌دهد که به صورت واقعی شامل تمام خروجی‌های تابع هستند و از طریق انجام محاسبات مختلف به دست می‌آید. برای مشخص شدن دقیق تفاوت این دو مفهوم، به مثال زیر توجه کنید.

تابعی را به فرم $$f(x) =2x$$ در نظر بگیرید. دامنه و هم‌دامنه این تابع به صورتی تعریف شده که تنها شامل اعداد صحیح هستند. توجه کنید که تعریف دامنه و هم‌دامنه کاملا دست خود ما است و ما تعیین می‌کنیم که دامنه و هم‌دامنه تابع شامل چه مقادیری باشند.

همانطور که از تعریف این تابع نتیجه می‌شود، زمانی که ورودی این تابع به صورت اعداد صحیح باشند، خروجی تابع تنها شامل اعداد صحیح زوج خواهد بود.

بنابراین هم‌دامنه شامل تمام اعداد صحیح است و برد این تابع تنها اعداد صحیح زوج را در بر می‌گیرد.

مطابق با توضیحاتی که در بالا داده شد می‌توان نتیجه گرفت که برد یک تابع، زیر مجموعه‌ای از هم‌دامنه آن است. اما دلیل اینکه از هر دو تعریف برای توابع مختلف استفاده می‌شود این است که گاهی تابع ما بسیار پیچیده است و ما به راحتی نمی‌توانیم برد تابع را محاسبه کنیم. در این حالت با تعریف هم‌دامنه و دامنه می‌توانیم محدوده‌ای که برد در آن قرار دارد را مشخص کنیم و با استفاده از این موضوع سایر محاسبات موجود در مسئله را ادامه می‌دهیم.

نماد ریاضی

دامنه، برد و هم‌دامنه را در ریاضیات با استفاده از قراردادهایی معرفی می‌کنند که این قراردادها و نماد‌ها در این بخش مورد مطالعه قرار می‌گیرند. برای مثال نماد زیر را در تعریف یک تابع در نظر بگیرید.

این نماد نشان می‌دهد که دامنه تابع f، شامل مجموعه اعداد طبیعی (N) است و هم‌دامنه آن نیز مجموعه اعداد طبیعی (N) را در بر می‌گیرد. توجه شود که اعداد صحیح را با نماد Z و اعدا حقیقی را با نماد R نمایش می‌دهند. برای نشان دادن اعداد گویا نیز از نماد Q استفاده می‌شود.

بنابراین همانطور که نشان داده شد، هر تابع نیاز به داشتن یک دامنه، یک برد و یک هم‌دامنه دارد. این سه مورد تعریف یک تابع را کامل می‌کنند.

این مطلب به صورت دقیق ابتدا به بررسی توابع مختلف پرداخت و ورودی و خروجی آن‌ها را مورد ارزیابی قرار داد. در ادامه، دامنه، برد، هم‌دامنه و اجزای مختلف تابع تعریف شدند. سپس محدودیت‌هایی که در تعریف یک تابع وجود دارد مورد بررسی قرار گرفت و تفاوت برد و هم‌دامنه به خوبی شرح داده شد. در انتها نیز شیوه نمایش ریاضی این سه مفهوم یعنی برد، دامنه و هم‌دامنه یک تابع مورد بررسی قرار گرفت.

در صورتی که به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات پایه علاقه‌مند هستید، آموز‌ش‌های زیر به شما پیشنهاد می‌شوند:

دامنه و برد توابع در ریاضی دهم و تشخیص تابع بودن از روی نمودار

یکی از نمایش های تابع به کمک زوج مرتب است. تعریف دامنه و برد توابع به این صورت است که : به مجموعه همه مولفه های اول آن ها ، دامنه و به مجموعه همه مولفه های دوم آن ها ، برد تابع گفته می شود.

تعریف دامنه و برد توابع به روش های مختلف

یکی از نمایش های تابع به کمک زوج مرتب است. تعریف دامنه و برد توابع به این صورت است که : به مجموعه همه مولفه های اول آن ها ، دامنه و به مجموعه همه مولفه های دوم آن ها ، برد تابع گفته می شود.

دامنه و برد توابع را می توان از روی نمودار آن ها نیز بدست آورد. همه x ها دامنه تابع و همه y ها برد تابع را نشان می دهد.

در شکل های زیر دامنه و برد توابع مشخص شده است:

این تابع از 5 نقطه تشکیل شده است. مجموعه طول های آن ها ، دامنه و مجموعه عرض های آن ها برد تابع است.

دامنه و برد توابع ممکن است به صورت بازه ای از اعداد حقیقی باشند. در شکل زیر نمودار یک تابع چند قطعه ای رسم شده است که همه قسمت های آن معادله خط هستند. برای دامنه باید نمودار را از بالا و پایین بر روی محور طول ها تصویر کنیم و ببینیم کمترین x و بیشترین x چند است.

برای برد تابع نیز به طور مشابه باید نمودار را از چپ و راست بر روی محور عرض ها تصویر کنیم و ببینیم کمترین و بیشترین y چند است.

دقت کنید بیشترین y برای تابع فوق عدد 2 است اما چون این نقطه توخالی است، در نوشتن بازه ، برای عدد 2 از پرانتز استفاده می شود.

تشخیص تابع بودن از روی نمودار

اگر بتوان خطی عمودی رسم کرد ( موازی محور عرض ها ) که نمودار داده شده را در بیش از یک نقطه قطع کند، آن نمودار مربوط به یک تابع نیست .

در شکل های زیر نمونه هایی از رابطه هایی که تابع هستند و نیستند آورده شده است. در دو نموداری که تابع نیستند، خط قرمز رنگ که کشیدیم نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کرده است.

نمونه سوال فصل 5 تابع ریاضی دهم را از قسمت پیشنهادهای زیر دانلود و پاسخ نامه تشریحی آن را دریافت کنید. مثال های بیشتری از دامنه و برد توابع و تشخیص تابع بودن از روی نمودار را در آن خواهید دید.

امیدوارم که مطالب این درس براتون مفید باشه. در صورتی که سوالی دارید می توانید از بخش ارسال دیدگاه آن را با ما در میان گذاشته و جواب سوال خود را در کمترین زمان ممکن (حداکثر 24 ساعت) مشاهده کنید.